ok, a grandes rasgos:
Servidor WEB: se encarga de proveer los llamados "sitos web" osea una coleccion de paginas html bajo el protocolo HTTP
Servidor FTP: se encarga de permitir subir y decargar archivos desde una ubicacion publica, utilizando el protcolo FTP
Servidor DNS: se encarga de resover nombres de dominio para averiguar la ip (convertir www.yahoo.com.mx a 66.94.234.13)
Servidor de Correo (mail): se nencarga de enviar y recibir correos electronicos para todos los usuarios de un mismo dominio, emplea los protocolos SMTP y POP3.
Servidor de base de datos: Permite centralizar una base de datos para que varios usuarios distribuidos puedan acceder a ella remotamente y de forma simultanea.
Servidor NAS: se encarga de almacenar archivos en una red local, o para una intranet, centralizando y liberando a una pc o servidor de esta tarea
Servidor de impresion: se encarga de permitir compartir una o mas impresoras, puede ser una PC con una impresora adjunta, un dispositivo especial conectado a una impresora, o la propia impresora por sis sola si cuenta con tarjeta de red (NIC)
Servidor DHCP: se encarga de configurar los host asigando automaticamente parametros como IP, mascara, default-gateway, DNS, WINS, etc etc.
Servidor Proxy: Ejecuta un servicio o tarea EN REPRESENTACION de alguien mas, comunmente usados para compartir el acceso a internet o centraalizar la seguridad de la red.
Servidor RADIUS: ejecuta funciones de Autenticacion, monitoreo y control de usuarios.
Servidor NAT y NAT/P: permite traducir direcciones IP al efectuar conexiones, MUY tipicamente usados para que varias IP-privadas puedan compartir una solo IP-publica.
Servidor MIRC: son los empleados (mas antiguamente) para mensajeria instantanea y "chat" (aunque actualmete se usa java y software de mensajeria, en esta categoria estarian los servidores "jabber")
Mas otros 15 millones, quiza los servidores P2P, servidores de Radio via internet, servidres de VOIP,
En realidad cualquier maquina que de un servicio es un servidor y otra pueda conectarse sera un cliente, por ejemplo al jugar en red, una maquina trabaja como "servidor de juego" y los demas son sus clientes.
La caracteristica principal de un servidor es que permanece pasivamente A LA ESCUCHA de un puerto de la capa de transporte (tcp o udp) mientras que los clientes efectuan conexiones activas hacia esos puertos.
Otra rama en que se pudieran dividir:
De gama baja: son PC's normales, quiza muy bien equipadas en memoria, procesador y disco duro pero sin dejar de ser computadoras "normales", usados generalmente en pequeñas empresas ('cafes internet', pequeñas oficinas etc) (algunos dispositivos, no necesariemente PC's califican como servidores y encajan en esta categoria)
De gama Media: son sistemas robustos diseñados para trabajar ininterrumpidamente "24x7x365" generalmente usando 1, 2, 4 u hasta 8 procesadores tipo XEON de intel u Opteron de AMD (usados en empresas de medianas a grandes)
De gama Alta: existen dos tipos los llamados cluster y los llamados Main-frame, usados solo por organizaciones de amplios recursos economicos Y altas necesidades tecnicas de calculo.